Probabilidade no ENEM: quando a urna muda, a conta muda

Nestes dois itens oficiais, a conta só fica certa depois de duas decisões: o que tem a mesma chance de sair e o que muda depois de cada retirada. O artigo treina essas duas decisões.

A questão vem primeiro, e a teoria sai dela. Antes de ler cada resolução, tente resolver e anote a sua resposta. Depois, compare.

Item 1: ENEM 2023, 2º dia, Caderno 7 (Azul), questão 141

No alojamento de uma universidade, há alguns quartos com o padrão superior ao dos demais. Um desses quartos ficou disponível, e muitos estudantes se candidataram para morar no local. Para escolher quem ficará com o quarto, um sorteio será realizado. Para esse sorteio, cartões individuais com os nomes de todos os estudantes inscritos serão depositados em uma urna, sendo que, para cada estudante de primeiro ano, será depositado um único cartão com seu nome; para cada estudante de segundo ano, dois cartões com seu nome; e, para cada estudante de terceiro ano, três cartões com seu nome. Foram inscritos 200 estudantes de primeiro ano, 150 de segundo ano e 100 de terceiro ano. Todos os cartões têm a mesma probabilidade de serem sorteados.

Qual a probabilidade de o vencedor do sorteio ser um estudante de terceiro ano?

A) 1/2 B) 1/3 C) 1/8 D) 2/9 E) 3/8

Passo a passo

Passo 1. Ache o que tem a mesma chance. O enunciado diz: “Todos os cartões têm a mesma probabilidade de serem sorteados”. Quem tem a mesma chance é o cartão, e não o estudante. Por isso, a conta se faz contando cartões.

Passo 2. Conte os cartões de cada grupo.

• 1º ano: 200 estudantes × 1 cartão = 200 cartões
• 2º ano: 150 estudantes × 2 cartões = 300 cartões
• 3º ano: 100 estudantes × 3 cartões = 300 cartões
• Total: 200 + 300 + 300 = 800 cartões

Passo 3. Divida os casos favoráveis pelo total. O vencedor é do 3º ano quando sai um dos 300 cartões do 3º ano:

P = 300 / 800 = 3/8

Passo 4. Confira por que a alternativa D atrai. Se você contar estudantes, e não cartões, chega a 100 / 450 = 2/9, que é a alternativa D. Essa conta trataria cada estudante como igualmente provável, e o enunciado diz o contrário: cada estudante do 3º ano tem três cartões na urna.

Resposta: E (3/8). Gabarito oficial do Inep: E.

O que levar: quando todos os resultados possíveis, em número finito, são igualmente prováveis, P = resultados favoráveis / total de resultados. Antes de montar a fração, sublinhe no enunciado o que é igualmente provável (aqui, os cartões).

Item 2: ENEM 2018, 2º dia, Caderno 7 (Azul), questão 150

Para ganhar um prêmio, uma pessoa deverá retirar, sucessivamente e sem reposição, duas bolas pretas de uma mesma urna.

Inicialmente, as quantidades e cores das bolas são como descritas a seguir:

• Urna A – Possui três bolas brancas, duas bolas pretas e uma bola verde;
• Urna B – Possui seis bolas brancas, três bolas pretas e uma bola verde;
• Urna C – Possui duas bolas pretas e duas bolas verdes;
• Urna D – Possui três bolas brancas e três bolas pretas.

A pessoa deve escolher uma entre as cinco opções apresentadas:

• Opção 1 – Retirar, aleatoriamente, duas bolas da urna A;
• Opção 2 – Retirar, aleatoriamente, duas bolas da urna B;
• Opção 3 – Passar, aleatoriamente, uma bola da urna C para a urna A; após isso, retirar, aleatoriamente, duas bolas da urna A;
• Opção 4 – Passar, aleatoriamente, uma bola da urna D para a urna C; após isso, retirar, aleatoriamente, duas bolas da urna C;
• Opção 5 – Passar, aleatoriamente, uma bola da urna C para a urna D; após isso, retirar, aleatoriamente, duas bolas da urna D.

Com o objetivo de obter a maior probabilidade possível de ganhar o prêmio, a pessoa deve escolher a opção

A) 1. B) 2. C) 3. D) 4. E) 5.

Passo a passo

Passo 1. Entenda o “sem reposição”. A primeira bola retirada não volta. Se ela for preta, a segunda retirada acontece numa urna com uma bola a menos e uma preta a menos. Por isso a chance de duas pretas é:

P(duas pretas) = P(1ª preta) × P(2ª preta, dado que a 1ª foi preta)

Passo 2. Opções 1 e 2: retirada direta.

• Urna A (6 bolas, 2 pretas): 2/6 × 1/5 = 2/30 = 1/15 (cerca de 6,7%)
• Urna B (10 bolas, 3 pretas): 3/10 × 2/9 = 6/90 = 1/15 (cerca de 6,7%)

As duas empatam. Ter mais bolas pretas não basta: o que conta é a proporção de pretas, antes e depois da primeira retirada.

Passo 3. Opções 3, 4 e 5: primeiro uma transferência ao acaso. Aqui há duas etapas. A bola transferida pode ser de uma cor ou de outra, e cada caso deixa a urna final diferente. Calcule a chance em cada caso e pondere pela chance de o caso acontecer:

P(ganhar) = P(caso 1) × P(duas pretas no caso 1) + P(caso 2) × P(duas pretas no caso 2)

Opção 3 (uma bola de C vai para A). A urna C tem 2 pretas e 2 verdes, então a bola transferida é preta com chance 1/2 e verde com chance 1/2.

• Se for preta, A fica com 3 brancas, 3 pretas e 1 verde (7 bolas): 3/7 × 2/6 = 6/42 = 1/7
• Se for verde, A fica com 3 brancas, 2 pretas e 2 verdes (7 bolas): 2/7 × 1/6 = 2/42 = 1/21
• Total: 1/2 × 1/7 + 1/2 × 1/21 = 3/42 + 1/42 = 4/42 = 2/21 (cerca de 9,5%)

Opção 4 (uma bola de D vai para C). A urna D tem 3 brancas e 3 pretas: preta com chance 1/2, branca com chance 1/2.

• Se for preta, C fica com 3 pretas e 2 verdes (5 bolas): 3/5 × 2/4 = 6/20 = 3/10
• Se for branca, C fica com 2 pretas, 2 verdes e 1 branca (5 bolas): 2/5 × 1/4 = 2/20 = 1/10
• Total: 1/2 × 3/10 + 1/2 × 1/10 = 3/20 + 1/20 = 4/20 = 1/5 (20%)

Opção 5 (uma bola de C vai para D). A bola transferida é preta com chance 1/2 e verde com chance 1/2.

• Se for preta, D fica com 3 brancas e 4 pretas (7 bolas): 4/7 × 3/6 = 12/42 = 2/7
• Se for verde, D fica com 3 brancas, 3 pretas e 1 verde (7 bolas): 3/7 × 2/6 = 6/42 = 1/7
• Total: 1/2 × 2/7 + 1/2 × 1/7 = 2/14 + 1/14 = 3/14 (cerca de 21,4%)

Passo 4. Compare com cuidado. As opções 4 e 5 ficam perto: 1/5 e 3/14. Com o mesmo denominador, 1/5 = 14/70 e 3/14 = 15/70. A opção 5 é a maior.

Resposta: E (opção 5). Gabarito oficial do Inep: E.

O que levar para a prova

• Ache o que é igualmente provável. A fração favoráveis/total vale quando os resultados contados têm a mesma chance. No item de 2023, eram os cartões, e não os estudantes.
• Sem reposição, a urna muda a cada retirada. Na segunda retirada, o total e a quantidade da cor sorteada diminuem em 1.
• Quando houver uma etapa ao acaso antes, separe os casos. Calcule cada caso e pondere pela chance dele.
• Opções próximas pedem comparação exata. Um denominador comum ajuda: no item de 2018, 1/5 = 14/70 e 3/14 = 15/70, e a opção 5 é maior.

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Fontes

• Inep. ENEM 2023, 2º dia, Caderno 7 – Azul, questão 141: https://download.inep.gov.br/enem/provas_e_gabaritos/2023_PV_impresso_D2_CD7.pdf
• Inep. ENEM 2023, gabarito do 2º dia, Caderno 7 – Azul (141: E): https://download.inep.gov.br/enem/provas_e_gabaritos/2023_GB_impresso_D2_CD7.pdf
• Inep. ENEM 2018, 2º dia, Caderno 7 – Azul, questão 150: https://download.inep.gov.br/educacao_basica/enem/provas/2018/2DIA_07_AZUL_BAIXA.pdf
• Inep. ENEM 2018, gabarito do 2º dia, Caderno Azul (150: E): https://download.inep.gov.br/educacao_basica/enem/gabaritos/2018/GAB_ENEM_2018_DIA_2_AZUL.pdf

Fontes consultadas em 13/10/2026.